Probabilidad y sorteos

Con esto de los sorteos y las extracciones de bolas se me ha ocurrido un problema de probabilidad. A ver si alguno de los habituales es capaz de dar una explicación sencilla.

Tenemos un sorteo en el que hay 400 bolas y 40 premios iguales. Nosotros jugamos a una bola. Luego, la probabilidad de que nos toque premio es de

40/400 = 1/10 = 0,1

(espero que se entienda bien).

Realmente las bolas se sacan de una a una (y las bolas premiadas no vuelven a caer en el bombo). Así que en realidad, la probabilidad de que la primera bola sea la nuestra es de 1/400 (es decir, que solo una bola de cuatrocientas es la que interesa). La probabilidad de que la mia sea la segunda bola es de 1/399 (ya que una bola ya está fuera del bombo), la probabilidad de que la nuestra sea la tercera bola es de 1/398 (salieron previamente dos bolas). Y así sucesivamente.

Dado que estas probabilidades son excluyentes (obviamente mi bola no puede salir dos veces, es decir que no puede salir la primera y la quinta) la posibilidad total de llevarnos premio es la suma de cada posibilidad individual:

1/400+1/399+1/398+1/397+...+1/361=0,105221748939549

(son todos los decimales que me da la calculadora)

Si mis razonamientos son correctos: ¿tengo más posibilidades de ganar premio si las bolas se sacan de una en una (0,105) que si se sacan todas a la vez (0,100)? ¿Cómo se puede garantizar que todas las bolas salgan exactamente a la vez? Si mi probabilidad de éxito sube¿a quién le está bajando? ¿es mi razonamiento correcto? Si no es correcto ¿dónde está la falacia?

Entre todos los acertantes sortearemos con bolitas un premio. 8-)

Opciones de visualización de comentarios

Seleccione su manera preferida de mostrar los comentarios y haga click en 'Guardar opciones' para activar sus cambios.

Razonamiento incorrecto

Me parece que hay una pequeña incorrección en el razonamiento. En realidad, la probabilidad de que salga tu bola en la segunda extracción no es exactamente 1/399. Me explico, para que salga la bola a la segunda, primero ha tenido que no salir a la primera. Por tanto, debemos multiplicar 1/399 por un número que es muy cercano a 1: 399/400, pero algo menor. Igual pasa con la tercera y sucesivas bolas, siempre hay que considerar que la bola no salió antes.

Ya ha habido una respuesta,

Ya ha habido una respuesta, pero para dar tiempo a que algún otro participe, he ocultado su aportación.

Así que teneis una segunda oportunidad

Sumas haciendo trampa.

La probabilidad de que te toque un premio es la probabilidad de que te toque la primera vez 1/400 + la probabilidad de que te toque la segunda y no te haya tocado la primera 1/399.399/400 + la probabilidad de que te toque la tercera y no te haya tocado ni la primera ni la segunda ....

Y entonces, creo, si que da lo mismo, no he hecho todas las cuentas....

y ahora una con muchas letras.

Uy, fernand0 me honra tu visita por estos lugares.

No se si conoces la historia del organillero que estaba tocando en viena un vals de Johann Strauss y dió la casualidad de que pasaba por delante el mismísimo compositor que le hizo notar: «perdone, este vals es más rápido, con más brio», «disculpeme maestro» le contestó el organillero que reconoció de inmediato al célebre personaje de la época. Al día siguiente, dice la gente que vio aparecer al mismo organillero situarse en la misma esquina con un cartelito que rezaba: «Discípulo de J. Strauss».

Y ahora al turrón. Efectivamente, la probabilidad de que me toque el sorteo es la misma si se sacan todas las bolas simultáneamente o si se sacan una a una. La falacia en el razonamiento reside en que la probabilidad de que ocurran uno de varios procesos excluyentes no es la suma de las probabilidad de cada proceso por separado. La condición impuesta de exclusión hace que sean sucesos condicionados.

La probabilidad de que ocurra solo un suceso de dos es la suma de las probabilidades individuales de cada uno menos la probabilidad de que los dos sucesos ocurran simultáneamente.

pero he hablado de 2 eventos, ¿cómo se puede esto generalizar para 40 eventos excluyentes? Este es el sistema que se me ha ocurrido (siento emplear nomenclatura matemática pero los intentos de explicarlo sin ella son aun más farragosos):

sea p(n) la probabilidad de que salga la bola en la extracción n. Concretamente p(n)= 1/(401-n). Así la primera extracción tiene probabilidad 1/400, la segunda 1/399 y sucesivamente.

Sea P(n) la probabilidad de que salga la bola en la extracción n o en cualquiera anterior. Queremos calcular P(40) (la probabilidad de que salga nuestra bola en cualquiera de las primeras 40 extracciones).

Como no sabemos la forma de P(n), vamos a ir calculandola a ojo a partir de números pequeños:

Si n=1, la probabilidad Total de que salga a la primera es igual a la probabilidad de que salga la primera.

P(1)=p(1).

si n=2, o sale la primera o sale la segunda (es una exclusión) así que :
P(2) = p(1) + p(2) - p(1)p(2), como p(1) es igual a P(1)
P(2) = P(1) + p(2) - P(1)p(2).

si n=3, o sale la primera o la segunda (conocemos cual es su probabilidad) o sale la tercera:
P(3) = P(2) + p(3) - P(2)p(3)

En general vemos que se cumple:
P(n) = P(n-1) + p(n) - P(n-1)p(n)

que es una fórmula recursiva, es decir que requiere saber el valor anterior de la misma para calcular el siguiente. O de otra forma, para obtener P(40) es necesario conocer P(39) y para este es necesario conocer P(38) y así sucesivamente hasta llegar a P(1) que si que conocemos.

Mucha letra y mucho número. Así que vamos a simplificar un poco la cosa. Voy a dar la lista de los primeros P, y no creo que sea dificil determinar P(40) sin hacer más cálculos:

P(1)=1/400
P(2)=2/400
P(3)=3/400
P(4)=4/400
P(5)=5/400
...
P(40)=40/400 igual que en la extracción de bolas simultáneas.

atte. javier m mora discípulo de fernand0 ;-)

fernand0

fernand0 ... discípulo de javier m mora :)

Te leo, pero escribes poco....

Me parece logico el

Me parece logico el razonamiento y de hecho una vez que ha salido laprimera bola premiada, tu posibilidad de ganar aparentemente sube ya que hay un premio menos lo que representa un 2.5% de 40, y es proporcional para cada uno de los siguientes bolitas que cada una representa de 400 solo el 0.25%, asi que los proximos posibles ganadores incrementan sus posibilidades de exito, ya que con 40/400 era igual al 0.1de posibilidades, y con 39/399 es igual a un 0.1023 para el segundo, para el tercero 0.1047 de 38/398, para el cuarto 37/397 es igual a 0.1072, etc... 30/390 es igual a 0.13, etc... el 20/380 es igual 0.19, el 10/370 es de 0.37, hasta el ultimo posible ganador que queda con un 3.6 de 360, bueno esa es mi humilde opinion, me agrado mucho poder participar espero no estropear el ejercicio. Saludos desde Monterrey