Si has leido la introducción orientativa, hay muchos hilos que se han dejado sueltos intencionadamente. Esta segunda introducción, más formal, intentará cubrirlos. Tocando los aspectos matemáticos estrictamente necesarios.

Hasta ahora, hemos hablado de reglas de cálculo como tablas. Veamos ahora la diferencia entre una regla y una tabla. En cada fila de una tabla se relacionan dos pares de números: el valor correspondiente y la posición que ocupa en dicha tabla.

Así tenemos que en la posición 0 (la primera) el valor es 1, en la posición 1 el valor es 1,3 y así sucesivamente. ¿podemos sistematizar esto? Sí, el término general de dicha tabla es:

Valor=(1,3) ^ Posicion

A nosotros nos interesa poder emplear números como el 2, el 3 o pi y no estos sucedaneos como 2,2 o 2,9. Así que vamos a emplear la fórmula que tenemos para Determinar la posición del valor 2.

2=(1,3) ^ Posicion

log 2 = Posicion x log (1,3)

Posicion = log 2 / log (1,3) = 2,64

Es decir, el 2 ha de estar entre la posición 2 y la posición 3. En una tabla las posiciones son enteras, o es 2 o es 3. Así que vamos a contruir una representación de esta tabla que permita posiciones no enteras: la regla. Una regla no es más que un segmento en el que hacemos marcas en los puntos que nos interesan. Y esas marcar llevan asociados unos números. Como se ve no es más que una tabla, pero no estamos restringidos a que la posición sea entera.

Cogemos, pues, una recta y marcamos un punto y lo llamamos origen. El resto de los puntos estáran en la posición indicada por la fórmula anterior. A partir de ahora, en la regla diremos distancia más que posición. La marca del 1 esta a una distancia log 1 / log(1,3) del origen como log 1/ log(1,3) es 0, la marca 1 está en el origen. La marca llamada 2 está a una distancia 2,64 del origen (la marca 1) y esa distancia coincide con la que ya calculamos antes, la marca 3 a 4,19 y así sucesivamente. Tambien se pueden poner marcas para numeros con decimales como por ejemplo pi (a 4,36) o 1,7 (a 2,02).

¿y esto funciona igual que con la tabla?

Veámoslo. El mecanismo real de las tablas es sumar avances en las posiciones. En la última tabla que expusimos (multiplicación por 2,9), realmente estamos sumando dichos avances. Veamos 2,9 x 3,9:

Están marcadas en negrita los avances que se producen. En la escala C tenemos 5 avances de posición desde el origen y en la escala D sólo 4. Sumamos los avances tenemos 9 ¿qué valor corresponde a dicha posición (origen más 9 avances)? (1,3) ^ 9 = 10,60 que corresponde con el 11,4 de la escala. (De nuevo los errores son de redondeo por haber cogido solo 1 decimal).

Ahora veamos nuestra regla.

Para simplificar cálculos, vamos a cambiar el factor empleado hasta ahora (1,3) por el número 10. El logaritmo de 10 (log 10) es igual a 1 y nos ahorra muchos cálculos. Tenemos que

Posicion ( en tabla) = Distancia ( en regla) = log Número / log 10 = log Número /1 = log Número.

Es decir que a cada marca (y su número) se le asigna una distancia (log número) al origen o tambien llamada marca 1. Por eso esta escala se llama logarítmica.

Al igual que la regla, vamos a sumar dos distancias (el equivalente a avances de posición); queremos determinar la suma de las distancias 1-2 y 1-3. Estas distancias son log 2 y log 3 respectivamente. Los logaritmos tienen una propiedad matemática: log (A x B) = log (A) + log (B) que aplicamos aquí:

log 2 + log 3 = log (2 x 3) = log (6)

Recordamos que log(6) coincide con la distancia entre las marcas 1-6. ¡Qué es el producto entre 2 y 3!

Este último párrafo se ha corrido mucho, así que voy a reformularlo: Tenemos un origen global que coincide con la marca 1. Tenemos una primera distancia que es la distancia entre las marcas 1 y 2, dicha distancia es log 2. A dicha distancia queremos sumarle la distancia entre las marcas 1 y 3 (log 3). Para realizar esto superponemos a nuestra regla original una segunda regla identica de forma que el final de 1-2 coincida con el inicio de 1-3 de nuestra escala auxiliar. La cuestión es saber la marca 3 de la regla auxiliar que marca tiene superpuesta en la escala original. Aplicando la formula de los logaritmos, determinamos que log 2 + log 3 es igual a log 6. log 6 es una distancia y lo que nos interesa es conocer el valor que representa. Esta es fácil: log 6 es la distancia entre las marcas 1 y 6. Así que la marca 3 de la regla auxiliar coincide con la marca 6 de la regla original.

La conclusión final sobre las reglas de escala logarítmica es que se pueden multiplicar cualesquiera dos números con tal de que estén marcados los factores de la operación en la misma. Convirtiendo un proceso complejo como una multiplicación en una sincronización oculo-manual.

El tamaño físico de la regla es la que impone el límite real para poner más marcas en ella. Cuanto más grande sea la regla, más marcas podrá contener y más precisa será.