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La notación científica

Como se ha dicho en el apartado anterior, la regla de cálculo solo tiene en consideración números entre 1 y 10. Operaciones como 5 x 7 = 35 se salen de escala y no se pueden calcular a priori. ¿Cómo trabajar entonces?

La notación científica

Empleando una notación llamada «científica» o también llamada «en coma flotante». En dicha notación se multiplica o divide el número en cuestión por 10 tantas veces como sea necesario para que el número final tenga una cifra, la coma decimal y el resto de cifras significativas si las hubiere. Para que el valor que representa el número quede sin modificar dejamos indicada aparte la división o multiplicación efectuada.

Veamos unos ejemplos:

Numero originario Equivalente Mantisa Exponente
3 3 x 10 ^ 0 3 0
5,3 5,3 x 10 ^ 0 5,3 0
20 2 x 10 ^ 1 2 1
26 2,6 x 10 ^ 1 2,6 1
412 4,12 x 10 ^ 2 4,12 2
0,34 3,4 x 10 ^ -1 3,4 -1
0,0031 3,1 x 10 ^ -3 3,1 -3

El par de números mantisa/exponente suele representarse separándolos con una «e» minúscula. Los números anteriores se denotan por tanto: 3e0 5,3e0 2e1 2,6e1 4,12e2 3,4e-1 y 3,1e-3.

Como podeis imaginar, las reglas de cálculo, sólo operan con las mantisas. ¿Qué pasa con los exponentes?

En una multiplicación de números en notación científica se multiplican las mantisas entre sí y se suman los exponentes (cuidando su signo):

3 x 21 = 3e0 x 2,1e1 = 6,3e1 = 63

en el siguiente caso, el resultado tendrá una mantisa superior a 10:

4 x 51 = 4e0 x 5,1e1 = 20,4e1 = 2,04e2 = 204

Dado que la forma normalizada de la mantisa es una cifra, la coma y el resto, tenemos que ajustar el resultado temporal 20,4e1 para que esté normalizado como 2,04e2 (el exponente ha sido ajustado también convenientemente).

En la regla de cálculo, las operaciones de multiplicación cuya mantisa resultante no requiera posterior normalizado (porque su resultado es inferior a 10) se ha de hacer empleando C1 con uno de los factores en D. En el caso que la mantisa resultante sea mayor que 10 y haya que normalizar, se alineará el factor con C10. En caso contrario, nos encontraremos que sobre el número que nos interesa operar no está alineado con ninguno en la otra escala por haberse producido un desbordamiento.

Los expertos en la regla, preveen antes de hacer la operación si va a ser necesario ajustar o no la mantisa y emplean directamente C1 o C10 ahorrando tiempo y movimientos con ello.

En el caso de la división, las mantisas se dividen y los exponentes se restan.

La suma y resta de numeros es un poco más complicada. Sólo se pueden sumar y restar números que tengan el mismo exponente. Así que si la diferencia de exponentes es reducida (el número de cifras significativas), se pueden desnormalizar las mantisas, efectuar la operación y volver a normalizar. En caso de gran diferencia entre exponentes, el número de menor exponente es despreciado.

20 - 2 = 2,0e1 - 2,0e0 = 2,0e1 - 0,2e1 = 1,8e1 = 18

2000 - 2 = 2,0e3 - 2,0e0 = 2,0e3 - 0,002e3 aprox 2,0e3 - 0 = 2,0e3

efectivamente 2000-2 es casi 2000.

¿Cómo se opera con una regla de cálculo en la práctica?

La regla de cálculo es una herramienta más de cálculo. Un movimiento involuntario del cursor o la regla deslizante puede dar al traste una larga cadena de operaciones.

Los pasos lógicos para hacer una serie de operaciones son:

  • apuntar en un papel la operación a efectuar
  • expresar los números en notación científica.
  • Efectuar con la regla la operación correspondiente
  • efectuar a mano la operación correspondiente sobre los exponentes sabiendo que
    • si se emplea C10 en vez de C1 hay un desbordamiento y hay que sumar 1 al valor del exponente
    • hay escalas cuyo resultado hay que ajustar el valor del exponente. Por ejemplo, S hay que darle al resultado un exponente -1 y ST un exponente -2.
  • Continuar con la siguiente operación.

Una de las bellezas, para mí, en la regla de cálculo está que sólo teniendo una escala entre 1 y 10 se pueden hacer TODAS las operaciones posibles independientemente del tamaño de los números.

Observación sobre la precisión

Pensando un poco en estas operaciones se llega a la conclusión, acertada, de que estos cálculos no son exactos. En un ejemplo anterior quedaba patente que 2000 - 2 era igual a 2000 y eso no es exacto.

Igualmente, al efectuar operaciones como la división, es probable que el cursor que indica el resultado no caiga sobre ninguna división de la regla, sino más bien por un espacio. Se impone al usuario una interpolación visual que tambien desencadena errores.

¿esto no presenta problemas?

Depende de para qué sea el cálculo. Obviamente, en una aplicación bancaria es importante que ni sobre ni falte una moneda. Así que las reglas de cálculo no son idóneas para calculos financieros (que por otra parte, suelen consistir en sumas y restas y poco más).

El error de una regla de cálculo y el número de cifras significativas (cifras que podemos considerar ciertas y seguras) es función directa de la longitud física de la regla. Así tenemos reglas de bolsillo de 15 cm que dan hasta dos decimales, reglas de mesa de 30 cm que en ciertas operaciones dan tres decimales y hay hasta reglas de dos o más metros para cálculos extremadamente precisos que proporcionan hasta 4 o 5 cifras decimales.

¿En el campo de la ingenería se necesita tanta precisión? Es más importante poder evaluar el error en el que te mueves que la presencia de este (que por otra parte es inevitable en la naturaleza). En el cálculo de un sencillo circuito eléctrico, las tolerancias en las resistencias son comunmente del 10%. Si medimos con una cinta métrica una casa de 10 metros de longitud, el error puede llegar a ser de varios centímetros (en función de lo derecha que esté la pared de la casa y lo derecha que se ponga la cinta métrica). Por tanto la ingenería trabaja con tolerancias, margenes de error que permiten perfectamente el uso de reglas de cálculo.

De hecho, un defecto actual al efectuar cálculos en la ingenería es emplear más decimales de los que realmente tienen sentido. El error aparejado en las medidas originales y la propagación de estos es superior a 8 cifras decimales que da cualquier calculadora actual. Es labor del ingeniero interpretar correctamente cuál es la precisión correcta en cada resultado.

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